Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，函数f(x)=(

a

+

b

)•

b

+k．
（1）若f（x）图象申相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，求ω的取值范围．
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由题设条件先推导出f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．再由f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，利用ω＞0，能求出ω的取值范围．
（2）由f（x）的最小正周期为π，能导出ω=1，故f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

，由当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，f（x）的最大值是

1

2

，能求出k，进而能求出f（x）．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx），
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

+k
=

3

sinωxcosωx+sin2ωx+k
=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．
∵f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，
∴

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1，
∵ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]，
从而当2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

时，
f(x)max=f(

π

6

)=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

，
故f（x）=sin（2x-

π

6

）．

点评：本题考查三角函数的恒等变换的应用，考查三角函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．