Question

已知平面向量

α

，

β

，

c

满足|

α

|=|

β

|=1，向量

α

与

β

-

α

的夹角为120°，且(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0，则|

c

|的取值范围是

[

3 -1

2

，

3 +1

2

]

．

Answer 1

分析：设

AB

=

α

，

AC

=

β

，则

BC

=

β

-

α

，利用向量

α

与

β

-

α

的夹角为120°，|

α

|=|

β

|=1，可得△ABC是等边三角形，根据(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0，可得

c

是以A为起点，终点在以BC为直径的圆上（除去B，C点），从而可求|

c

|的取值范围．

解答：解：设

AB

=

α

，

AC

=

β

，则

BC

=

β

-

α

∵向量

α

与

β

-

α

的夹角为120°，
∴∠ABC=60°
∵|

α

|=|

β

|=1，
∴△ABC是等边三角形
∵(

α

-

c

)•(

β

-

c

)=0
∴

c

是以A为起点，终点在以BC为直径的圆上（除去B，C点）
∴|

c

|的最小值为圆心到A的距离减去半径，即

3 -1

2

；最大值为圆心到A的距离加上半径，即

3 +1

2

∴|

c

|的取值范围是[

3 -1

2

，

3 +1

2

]
故答案为：[

3 -1

2

，

3 +1

2

]

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．