Question

设关于x的不等式x|x-a|-b＜0的解集为P．
（1）当a=2，b=3时，求集合P；
（2）若a=1，且P={x|x＜-1}，求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2，b=3代入已知，然后化不等式为不等式组，解之可得；
（2）方法1 把a=1代入可得f（x）的解析式，作函数f（x）的图象，数形结合可得；
方法2 同样把a=1代入可得不等式为x|x-1|-b＜0，分类讨论可得．

解答：解：（1）当a=2，b=3时，原不等式为：x|x-2|-3＜0．…（2分）
当x≥2时，x²-2x-3＜0，即

x≥2，              x2-2x-3＜0

解得2≤x＜3；    …（4分）
当x＜2时，-x²+2x-3＜0，即

x＜2，              x2-2x+3＞0

解得 x＜2．…（6分）
所以，P=（-∞，3）．…（7分）
（2）方法1 当a=1时，令f（x）=x|x-1|=

-x2+x，  x≤1 x2-x，    x＞1

…（9分）
作函数f（x）的图象（如图）．
当x＜-1，f（x）的值域为（-∞，-2），…（11分）
当x≥-1，f（x）的值域为[-2，+∞）．…（13分）
所以，当不等式的解集为P={x|x＜-1}时，b=-2．…（14分）
方法2  当a=1时，不等式为x|x-1|-b＜0．…（8分）
若x≥1，不等式的解集不可能是P={x|x＜-1}； …（10分）
若x＜1，不等式为x（1-x）-b＜0，即x²-x+b＞0，…（11分）
由题意知x＜-1?

x＜1，                                        x＜ 1- 1-4b 2 或x＞ 1+ 1-4b 2

…（13分）
于是有

1- 1-4b

2

=-1，解得b=-2．…14 分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，涉及一元二次不等式的解法，以及函数的图象和分类讨论的思想，属中档题．