西安市交通管理局.对市三环高速公路上车辆速度进行监测.某时段三环上有6辆速度超过100km/h.4辆速度低于60km/h的汽车正在行驶.交管中心从中任意监测三辆．(1)求交管中心至少监测到1辆车速低于60km/h的概率,(2)已知甲.乙两辆速度超过100km/h.丙车速度低于60km/h.设交管中心监测到速度超过100km/h的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．西安市交通管理局，对市三环高速公路上车辆速度进行监测，某时段三环上有6辆速度超过100km/h，4辆速度低于60km/h的汽车正在行驶，交管中心从中任意监测三辆．
（1）求交管中心至少监测到1辆车速低于60km/h的概率；
（2）已知甲、乙两辆速度超过100km/h，丙车速度低于60km/h，设交管中心监测到速度超过100km/h的概率都是$\frac{3}{5}$．监测到速度超过60km/h的概率都是$\frac{4}{5}$，且各车否监测到相互独立，利用X表示交管中心监测到甲、乙、丙这三辆车辆的个数，求X的分布列和数学期望．

分析（1）交管中心从中任意监测三辆，先求出基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，至少监测到1辆车速低于60km/h的对立事件是没有监测到车速低于60km/h的车辆，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少监测到1辆车速低于60km/h的概率．
（2）由已知交管中心监测到甲、乙的概率都是$\frac{3}{5}$，交管中心监测到丙的概率是$\frac{1}{5}$，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答解：（1）∵某时段三环上有6辆速度超过100km/h，4辆速度低于60km/h的汽车正在行驶，
交管中心从中任意监测三辆，基本事件总数n=${C}_{10}^{3}$=120，
至少监测到1辆车速低于60km/h的对立事件是没有监测到车速低于60km/h的车辆，
∴至少监测到1辆车速低于60km/h的概率：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{6}$．
（2）由已知交管中心监测到甲、乙的概率都是$\frac{3}{5}$，交管中心监测到丙的概率是$\frac{1}{5}$，
由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{16}{125}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）•（1-\frac{1}{5}）$+${C}_{2}^{0}（1-\frac{3}{5}）^{2}×\frac{1}{5}$=$\frac{52}{125}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}•（1-\frac{1}{5}）$+${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）•\frac{1}{5}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{9}{125}$，
∴X的分布列为：