Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在区间[－3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 　　得(x)＝3x2＋2ax＋b， 　　当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0① 　　当x＝时，y＝f(x)有极值，则()＝0， 　　可得4a＋3b＋4＝0② 　　由①②解得a＝2，b＝－4． 　　由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4． 　　∴1＋a＋b＋c＝4．∴c＝5　6分 　　(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 　　∴(x)＝3x2＋4x－4， 　　令(x)＝0，得x＝－2，x＝． 　　当x变化时，y，的取值及变化如下表： 　　∴y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为　14分