Question

设x₁，x₂是函数f（x）=（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，可得x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根，利用韦达定理，结合|x₁|+|x₂|=2，即可证明0＜a≤1；
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，证明g（a）在区间上是增函数，在区间上是减函数，即可得到结论．
解答：证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴
∴
∵|x₁|+|x₂|=2
∴即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，则g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由得g（a）在区间上是增函数，在区间上是减函数，…（11分）
∴
∴…（13分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．