题目内容
某班拟从两名同学中选一人参加学校知识竞赛，现设计一个预选方案：选手从五道题中一次性随机抽取三道进行回答，已知甲五道题中只会三道，乙每道题答对的概率都是3/5，且每道题答对与否互不影响．（1）分别求出甲乙两人答对题数的概率分布；（2）你认为派谁参加比赛更合适．
分析：（1）设甲、乙答对的题数分别是ξ，η，ξ的可能取值为1，2，3，p（ξ=1）=
=
，p（ξ=2）=
=
，p（ξ=3）=
=
．由此能求出ξ的分布列．
η的可能取值为0，1，2，3，p（η=0）=(
)3=
，p（η=1）=
(
) (
)2=
，p（η=2）=
(
)2(
) =
，p（η=3）=(
)3 =
，由此能求出η的分布列．
（2）由Eξ=Eη=
，Dξ=
＜Dη=
，知选派甲更合适．
| ||||
|
| 3 |
| 10 |
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
| ||
|
| 1 |
| 10 |
η的可能取值为0，1，2，3，p（η=0）=(
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 125 |
| C | 1 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
| C | 2 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 54 |
| 125 |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
| 125 |
（2）由Eξ=Eη=
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 25 |
| 18 |
| 25 |
解答：解：（1）设甲、乙答对的题数分别是ξ，η，
ξ的可能取值为1，2，3，
p（ξ=1）=
=
，
p（ξ=2）=
=
，
p（ξ=3）=
=
．
∴ξ的分布列为
η的可能取值为0，1，2，3，
p（η=0）=(
)3=
，
p（η=1）=
(
) (
)2=
，
p（η=2）=
(
)2(
) =
，
p（η=3）=(
)3 =
，
（2）Eξ=1×
+2×
+3×
=
，
Dξ=(1-
)2×
+(2-
)2×
+(3-
)2×
=
，
Eη=0×
+1×
+2×
+3×
=
，
Dη=(0-
)2×
+(1-
)2×
+(2-
)2×
+(3-
)2×
=
．
∵Eξ=Eη=
，Dξ=
＜Dη=
，
∴选派甲更合适．
ξ的可能取值为1，2，3，
p（ξ=1）=
| ||||
|
| 3 |
| 10 |
p（ξ=2）=
| ||||
|
| 3 |
| 5 |
p（ξ=3）=
| ||
|
| 1 |
| 10 |
∴ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | ||||||
| P |
|
|
|
p（η=0）=(
| 2 |
| 5 |
| 8 |
| 125 |
p（η=1）=
| C | 1 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
p（η=2）=
| C | 2 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 54 |
| 125 |
p（η=3）=(
| 3 |
| 5 |
| 27 |
| 125 |
| η | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 9 |
| 5 |
Dξ=(1-
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
| 9 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 1 |
| 10 |
| 9 |
| 25 |
Eη=0×
| 8 |
| 125 |
| 36 |
| 125 |
| 54 |
| 125 |
| 27 |
| 125 |
| 9 |
| 5 |
Dη=(0-
| 9 |
| 5 |
| 8 |
| 125 |
| 9 |
| 5 |
| 36 |
| 125 |
| 9 |
| 5 |
| 54 |
| 125 |
| 9 |
| 5 |
| 27 |
| 125 |
| 18 |
| 25 |
∵Eξ=Eη=
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 25 |
| 18 |
| 25 |
∴选派甲更合适．
点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意n次独立重复试验恰好发生k次概率公式的灵活运用．
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