Question

已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x²=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l₁和l₂，且l₁，l₂与抛物线另一个交点分别为B、C．
（I）求证：直线BC的斜率为定值；
（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据点A（m，4）（m＞0）在抛物线x²=4y上，确定A的坐标，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_AB+k_AC=0，kBC=

x1+x2

4

，即可得解；
（II）设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线BC对称，确定PQ中点M的坐标，利用M在抛物线内部，确定b的范围，进一步计算|BC|，即可得到结论．

解答：（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x²=4y上，∴m=4
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则k_AB+k_AC=

x1+4

4

+

x2+4

4

=0
∴x₁+x₂=-8
∴kBC=

x1+x2

4

=-2
∴直线BC的斜率为定值-2；
（II）解：设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线BC对称，
设PQ中点M（x₀，y₀），则kPQ=

x3+x4

4

=

x0

2

=

1

2

，
∴x₀=1，故M（1，-2+b）
∵M在抛物线内部，
∴-2+b＞

1

4

，解得b＞

9

4

y=-2x+b代入抛物线可得x²+8x-4b=0，
∴x₃+x₄=-8，x₃x₄=-4b
∴|BC|=

1+4

|x3-x4|=

5

×

64+16b

＞10

5

∴|BC|的取值范围为（10

5

，+∞）．

点评：本题考查直线的斜率，考查点关于直线的对称性，解题的关键是正确求斜率，利用弦长公式计算弦长，属于中档题．