Question

【题目】若是素数，证明存在0，1，2，…，的一个排列（，，…，），使得，，，…，.被除的余数各不相同.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

是素数，由孙子定理，对每个，存在，使得

有解.

设，并用表示被除的余数，

则.

（1）首先证明，且时，.

这是因为，

，

.

（2）其次证明，.

否则，若，则，，

时，由于，有.

从而，有

. （2）

从（2），至少有一个，满足，即. （3）

如果（3）取等号，则由（2）可知，对于，不但模长皆为2，而且辐角都应相等.又利用（2）可知，则，这里，.再利用（1）可以看到次多项式当时均为0，从而这多项式恒等于0.那么，

. （4）

由于，从而可以知道，，…，是一的次方根.

综上所述，.

最大值中的最小值达到时，在复平面上，复数，，…，所对应的点是一个单位圆的内接正边形的个顶点.