已知在直角坐标系xOy中.直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴)中.圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos．(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在极
坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

分析（I）圆C的极坐标方程ρ=4cosθ-4sinθ，化为ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ．利用 $\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得t${\;}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，可得根与系数的关系，可得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}=\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$，即可得解．

解答解：（Ⅰ）由ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）得，ρ=4cosθ-4sinθ，
所以ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
∴x²+y²=4x-4y，
即圆C的直角坐标系方程为：（x-2）²+（y+2）²=8 ①
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数为t₁，t₂，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$与①式联立得
t${\;}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，
所以t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4＜0，
根据参数t的意义可知：$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}=\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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