Question

2．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC的内心，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，则x+y=$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 通过建系如图并设O（0，t），利用O是△ABC的内心即点O到直线AC的距离与|OD|相等可知O（0，$\frac{3}{2}$），利用$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$化简即得结论．

解答 解：取BC的中点D，连结AD并建系如图，设O（0，t），
依题意A（0，4），B（-3，0），C（3，0），
∴直线AC的方程为：4x+3y-12=0，
$\overrightarrow{AB}$=（-3，-4），$\overrightarrow{AC}$=（3，-4），
∴点O到直线AC的距离d=$\frac{|0+3t-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$（4-t），
∵O是△ABC的内心，
∴|OD|=d，即t=$\frac{3}{5}$（4-t），
解得：t=$\frac{3}{2}$，∴O（0，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AO}$=（0，-$\frac{5}{2}$），
又∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
=x（-3，-4）+y（3，-4）
=（3y-3x，-4x-4y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3y-3x=0}\\{-4x-4y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴x+y=$\frac{5}{8}$
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．