题目内容
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）
分析：（1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
解答：解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E
，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=
AD=
×8=4，∴DF=
=
=4
；
在Rt△ABF中，BF=
=
=3，∴BD=DF-BF=4
-3
sin∠ABF=
=
，在Rt△DBE中，sin∠DBE=
，
∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=
，∴DE=BD•sin∠DBE=
×（4
-3）=
≈3.1（km）
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE=
=0.8，所以∠DBE=53°，∴∠DCB=180°-75°-53°=52°
在Rt△DCE中，sin∠DCE=
，∴DC=
≈
≈4（km）
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AD2-AF2 |
| 82-42 |
| 3 |
在Rt△ABF中，BF=
| AB2-AF2 |
| 52-42 |
| 3 |
sin∠ABF=
| AF |
| AB |
| 4 |
| 5 |
| DE |
| BD |
∵∠ABF=∠DBE，∴sin∠DBE=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
16
| ||
| 5 |
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，由（1）可知sin∠DBE=
| 4 |
| 5 |
在Rt△DCE中，sin∠DCE=
| DE |
| DC |
| DE |
| sin52° |
| 3.1 |
| 0.79 |
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
点评：本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．
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