Question

设函数f(x)=(1+x)²-2ln(1+x)。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g(x)=f(x)-x²-ax-1在区间[0，3]上的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）定义域为(-1，+∞)，
，
令，则，所以，x＜-2或x＞0； 
因为定义域为(-1，+∞)，所以x＞0；
令，则，所以，
因为定义域为(-1，+∞)，所以-1＜x＜0；
所以，函数的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-1，0)。
（Ⅱ） （x＞-1），
，
因为0＜a＜2，所以，2-a＞0，，
令，可得，
所以函数g（x）在上为减函数，在上为增函数；
①当，即时， 在区间[0，3]上，
g（x）在上为减函数，在上为增函数，
所以，，
②当，即时，g（x）在区间(0，3)上为减函数，
所以，；
综上所述，当时，； 当时，。