Question

已知函数f（x）=

x-a

lnx

，其中a为实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），f（x）＞

x

恒成立？若不存在，请说明理由，若在，求出a的值并加以证明．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义k=f′（2），切线方程y-f（2）=k（x-2）
（2）由f（x）＞

x

恒成立?a＞x-

x

lnx（0＜x＜1），a＜x-

x

lnx  (x＞1)，构造函数g(x)=x-

x

lnx(x＞0)，利用导数研究函数g（x）在区间（0，1）上的最大值M，在区间（1，+∞）上的最小值m，则

a≥M a≤m

解答：解：（1）a=2时，f（x）=

x-2

lnx

，
f′（x）=

xlnx-x+2

xln2x

，f′（2）=

1

ln2

，（2分）
又f（2）=0
所以切线方程为y=

1

ln2

（x-2）（2分）
（2）1°当0＜x＜1时，lnx＜0，则

x-a

lnx

＞

x

?a＞x-

x

lnx
令g（x）=x-

x

lnx，g′（x）=

2 x -2-lnx

2 x

，
再令h（x）=2

x

-2lnx，h′（x）=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＜0
当0＜x＜1时h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=

h(x)

2 x

＞0，
所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1时，lnx＞0，则

x-a

lnx

＞

x

?a＜x-

x

lnx?＜g（x）
由1°知当x＞1时h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上递增
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x））=

h(x)

2 x

＞0
所以g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）

点评：本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点的切线方程的求解，而恒成立的问题往往转化为求函数的最值问题，若a≥f（x）恒成立?a≥f（x）_max，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min，体现数学的转化思想在解题中的运用．