Question

15．直线l过点P（0，2）且与椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1相交于M，N两点，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 设直线l的方程为：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，由△＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$，利用根与系数的关系可得|MN|，运用点到直线的距离公式公式可得：原点O到直线l的距离d，再利用S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d，运用基本不等式的性质即可得出最大值．

解答 解：设直线l的方程为：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为（1+2k²）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
∴|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{16{k}^{2}-24}$．
原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△MON=$\frac{1}{2}$|MN|•d=$\frac{2\sqrt{4{k}^{2}-6}}{1+2{k}^{2}}$
=2$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{{k}^{2}-\frac{3}{2}}+4}}$≤2$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当k²=$\frac{7}{2}$时取等号，满足△＞0．
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$x+2+2，
此时面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．