Question

【题目】设函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若使得不等式成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减；

(2) ；

【解析】

（1）求函数的导数，研究函数的单调性即可

（2）利用参数分离法转化为最值问题，构造函数求函数的最值即可

(1)当时，，，

当时，；当时，；当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)，使得不等式成立.

即，使得不等式成立.

等价于，使得不等式成立.

令，，则.

设，则，

显然函数在是增函数.

因为，，且函数的图象在上连续，

所以，使得，

且当时，；当时，.

所以函数存在极小值，也是最小值.

所以，

其中，满足，即.

所以，即.

所以.

所以当时，.

所以在内单调递增.

所以.

所以有，

即实数的取值范围为．