岳阳市为了改善整个城市的交通状况.对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示:在一般情况下.大桥上的车流速度v是车流密度x的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时.造成堵塞.此时车流速度为0,当车流密度不超过30辆/千米时.车流速度为85千米/小时.研究表明:当30≤x≤200时.车流速度v是车流密度x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．

分析（1）直接列出当0≤x≤30时v（x）=85；当30≤x≤200时，v（x）=ax+b．利用已知条件求出a，b，然后求出函数v（x）的表达式．
（2）求出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}85x，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x）x，30≤x≤200\end{array}\right.$，利用当0≤x≤30时，求出函数的最值；当30≤x≤200时，求出函数的最值．然后得到最大值．

解答（本题满分13分）
解：（1）由题意：当0≤x≤30时v（x）=85；当30≤x≤200时，v（x）=ax+b．
再由已知得$\left\{\begin{array}{l}200a+b=0\\ 30a+b=85\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=100\end{array}\right.$，
故函数v（x）的表达式为：v（x）=$\left\{\begin{array}{l}85，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x），30≤x≤200\end{array}\right.$…（6分）
（2）依题意并由（Ⅰ）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}85x，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x）x，30≤x≤200\end{array}\right.$…（8分）
当0≤x≤30时，f（x）为增函数，故当x=30时达到最大，其最大值为85×30=2550；
当30≤x≤200时，f（x）=$\frac{1}{2}x（200-x）=-\frac{1}{2}（x-100）^{2}+5000$，
当且仅当x=100时，f（x）在区间[30，200]上取得最大值5000，
综上，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值5000．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为5000辆/小时．…（13分）

点评本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力．