Question

 （注意：在试题卷上作答无效）

（Ⅰ）设函数，证明：当时，；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。

第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

【精讲精析】(I)

所以在上单增。

当时，。

（II）

由(I)，当x<0时，,即有

故

于是,即.

利用推广的均值不等式：

另解：，

所以是上凸函数，于是

因此

，

故

综上：