Question

设函数f(x)=x³+ax²-9x-1(a＜0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函数f(x)的单调区间。

Answer 1

解：(Ⅰ)因，
所以，
即当时，f′（x）取得最小值，
因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以，解得a=±3，
由题设a＜0，所以a=-3。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3，因此，，
，
令f′（x）=0，解得，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；
当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，-1）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数，
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），单调递减区间为（-1，3）。