Question

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一等差数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），
（1）若数列{a_n}通项公式，求{△a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的首项是1，且满足△a_n-a_n=2ⁿ，①证明：数列为等差数列；②求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把依据数列的通项公式把a_n和a_n+1代入△a_n=a_n+1-a_n，进而求得{△a_n}的通项公式．
（2）①把△a_n=a_n+1-a_n代入△a_n-a_n=2ⁿ，等式两边同时除以2ⁿ⁺¹，得，进而证出数列为等差数列．
②通过S_n-2S_n即错位相减法，进而求得和S_n
解答：解（1）依题△a_n=a_n+1-a_n，
∴，
（2）i）由△a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴，
∴．，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
ii）由i）得，
∴，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+a_n=1•2+2•2¹++n•2^n-1，①
∴2S_n=1•2¹+2•2²++n•2ⁿ②
①-②得-S_n=1+2+2²++2^n-1-n•2ⁿ=，
∴S_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）•2ⁿ+1．
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用．等差数列的公式多，繁杂，所以平时应注意多积累．