题目内容
【题目】已知圆
：
，
，
是圆上的一个动点，线段
的垂直平分线与线段
相交于点
.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）记点的轨迹为
，
，
是直线
上的两点，满足
，曲线的过，的两条切线（异于）交于点
，求四边形
面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（1）由题意求出圆
的圆心坐标、半径，由椭圆的定义判断出曲线
的形状为椭圆，椭圆的标准方程即为所求；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式可得
的面积，由基本不等式法求出
面积取值范围，可得答案.
试题解析：（Ⅰ）依题意得圆心
，半径
，由于
.
所以点
的轨迹方程是以
，
为焦点，长轴长为4的椭圆，即
，
，则
，所以的轨迹方程是
.
（Ⅱ）依题意，直线
斜率存在且不为零，设为
，令
得
，
同理
.
设过点
的切线为
，代入得
.
由
解得
，
同理
.
联立两条切线
，解得
.
，等号成立当且仅当
，
所以四边形
面积的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查定义法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求四边形最值的.
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