题目内容

给定实数a,a≠0且a≠1,设函数Y=(其中x∈R且x≠),求证:

(1)经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴;

(2)这个函数的图像关于直线Y=x成轴对称.

证明:(1)设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点,则x1≠x2,假设直线M1M2平行于x轴,则必有y1=y2,即,?

整理,得a(x1-x2)=x1-x2.?

∵x1≠x2,∴a=1.∴这与已知a≠1矛盾,因此假设不成立,即直线M1M2不平行于x轴.?

(2)由y=得axy-y=1,即(ay-1)x=y-1,?

∴x=,?

即原函数y=的反函数为y=,图像一致.?

由互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称可以得到,函数y=的图像关于直线y=x成轴对称.

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
已知向量
p
=(x，a-3)，
q
=(x，x+a)，f(x)=
p
•
q
．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在区间（1，+∞）上有两实根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设实数m、n、r满足：m、n、r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①m+n+r，②m2+n2+r2，③m3+n3+r3是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）给定函数h（x）=bx+1（b＞0），若对任意的x0∈[2，3]，总存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求实数b的取值范围．
在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
关于函数f(x)=(3x)*(
1
3x
)的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；
②函数f（x）为奇函数；
③函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
1
3
)，(
1
3
，+∞)．
其中所有正确说法的序号为
③
③
．
给定实数a,a≠0且a≠1,设函数Y=(其中x∈R且x≠),求证:

(1)经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴;

(2)这个函数的图像关于直线Y=x成轴对称.

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