Question

已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=

3

，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．
（1）求证：MN⊥EA；
（2）求四棱锥M-ADNP的体积．

Answer 1

分析：（1）证明MP⊥AE，NP⊥AE，可得AE⊥平面MNP，从而可证明MN⊥EA；
（2）证明四边形ADNP为直角梯形，MP⊥平面ADNP，即可求四棱锥M-ADNP的体积．

解答：（1）证明：∵AE⊥BE，MP∥BE，∴MP⊥AE，
又BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
∵N为DE的中点，P为AE的中点，∴NP∥AD，
∵AD∥BC，∴NP∥BC，
∴NP⊥AE，
又∵NP∩MP=P，NP，MP?平面PMN，
∴AE⊥平面MNP，
∵MN?平面MNP，
∴MN⊥EA；
（2）解：由（1）知MP⊥AE，且MP=

1

2

BE=

1

2

．
∵AD∥BC，BC⊥平面ABE，
∴AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AP，
∵NP∥AD，
∴四边形ADNP为直角梯形，
∵MP?平面ABE，
∴AD⊥MP，
∵AD∩AE=A，
∴MP⊥平面ADNP，
∴四棱锥M-ADNP的体积V=

1

3

SADNP•MP=

1

3

•

( 1 2 +1)• 3 3

2

•

1

2

=

3

16

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥体积的计算，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．