题目内容
【题目】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，(
为参数).
（1）求曲线的直角坐标方程及的普通方程；
（2）已知点PQ为曲线与曲线的交点，W为参数方程
(
为参数)曲线
上一点，求点W到直线
的距离d的最大值.
【答案】（1）
：
，
：
；（2）
.
【解析】
（1）由
，则
，利用极坐标公式，转化为的直角坐标方程，曲线消参得到的普通方程；
（2）由（1）联立与方程，求出交点
，再求出直线
的方程，设
，将点W到直线的距离
用
表示出来，再由辅助角公式化简求出最大值.
（1）曲线：，所以；所以.
曲线：
(
为参数)，则
，
所以.
综上，曲线的直角坐标方程为，的普通方程为.
（2）解
则
，解得，
，
，
又因为
，所以直线的方程为
，
设，
所以
(
，
).
即点W到直线的距离d的最大值为.
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【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占
，统计成绩后得到如下
列联表：
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是
，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式
其中
）
