Question

（本小题满分14分）数列满足：；

（1）证明：数列是单调递减数列的充要条件是：；

（2）求的取值范围，使数列是单调递增数列．

 

Answer 1

（1）见试题解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）因为数列是单调递减数列对任意的,恒有，即

数列是单调递减数列．（2）因为数列是单调递增数列，所以由（1）知；当时，由，知，数列是常数列数列，舍去；当时，由知，；由对任意的,恒有知，；由结合数列是单调递增数列知，对任意的, 恒成立；当时，恒有 ，满足；当时，，由知，存在正整数,使得当时，，此时，当时，，不满足，所以．

试题解析：（1）证明：必要条件：当c<0时，，

∴数列是单调递减数列． 2分

充分条件：当数列是单调递减数列时，对任意的, 恒成立，

∴对任意的, 恒成立，∵，∴． 4分

∴数列是单调递减数列的充要条件是． 5分

（2）∵数列是单调递增数列，∴由（1）可得：； 7分

∵，

∴当时，，不合题意； 8分

当时，，，

∴，解得 ， 9分

又∵，∴，． 10分

又∵，

∴对任意的, 恒成立， 11分

∴当时，恒有 ，满足，∴适合题意． 12分

当时，，由知，存在正整数,使得当时，；此时，当时，

，不满足，舍去； 13分

综上可知，当时，数列是单调递增数列． 14分

考点：①数列的单调性的证明；②由数列的单调性确定参数的范围．