Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（0，-3）．与x轴正半轴的交点为C，P为x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）以y轴为对称轴，折叠△OBP，设点P的对应点为Q，当四边形OQBP为菱形时，求点P的坐标；
（3）求四边形OBPC面积最大值及对应的P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，从而解得；
（2）当四边形OQBP为菱形时，OP=BP，从而确定P点的纵坐标为y=$\frac{0-3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，从而代入求解即可；
（3）结合图象可知P（m，m²-2m-3），（0＜m＜3），从而分为两个三角形的面积之和即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得，b=-2，c=-3；
故y=x²-2x-3，
（2）当四边形OQBP为菱形时，OP=BP，
故P点的纵坐标为y=$\frac{0-3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
令y=x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$解得，
x=-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1或x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1；
故P（$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1，-$\frac{3}{2}$）或P（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1，-$\frac{3}{2}$）；
（3）结合图象可知P（m，m²-2m-3），（0＜m＜3），
故S=$\frac{1}{2}×$|OB|×m+$\frac{1}{2}×$|OC|×（3+2m-m²）
=$\frac{1}{2}×$3×m+$\frac{1}{2}×$3×（3+2m-m²）
=$\frac{3}{2}$（-m²+3m+3）
=$\frac{3}{2}$[（-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$+3），
故当m=$\frac{3}{2}$时，
四边形OBPC的面积有最大值$\frac{3}{2}$×（$\frac{9}{4}$+3）=$\frac{63}{8}$；
此时点P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的图象及性质的应用，同时考查了数形结合的思想应用．