题目内容
已知函数f（x）=2cos
．（1）设x∈
，且f（x）=
+1，求x的值；（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=
+1，且△ABC的面积为
，求a+b的值．
【答案】分析：（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
解答：解：（1）f（x）=2
cos2
-2sin
cos
=
（1+cosx）-sinx=2cos（x+
）+
，
由2cos（x+
）+
=
+1，得cos
=
，
于是x+
=2kπ±
（k∈Z），
∵x∈[0，
]，∴x=
；
（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=
，
∵△ABC的面积为
，∴
=
absin
，即ab=2
，①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos
=a2+b2-6，
∴a2+b2=7，②
由①②可得
或
，
则a+b=2+
．
点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
解答：解：（1）f（x）=2
cos2
-2sin
cos
=
（1+cosx）-sinx=2cos（x+
）+
，由2cos（x+
）+
=
+1，得cos
=
，于是x+
=2kπ±
（k∈Z），∵x∈[0，
]，∴x=
；（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=
，∵△ABC的面积为
，∴
=
absin
，即ab=2
，①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos
=a2+b2-6，∴a2+b2=7，②
由①②可得
或
，则a+b=2+
．点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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