题目内容
【题目】如图，已知椭圆
： 
的离心率为
， 
、
为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 
、
为椭圆
上异于
、
的两点，且直线
的斜率等于直线
斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线
与直线
的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形
的面积
的最大值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线
的斜率存在时， 
， 
， 
，当直线
的斜率
不存在时， 
，故综合
的最大值为
.
试题解析：
（Ⅰ）
．
，故
．
（Ⅱ）当直线
的斜率存在时，设
： 
与
轴的交点为
，
代入椭圆方程得
，
设
， 
，则
， 
，
由
，得
，
得
，
，得
或
．
或
，所以过定点
或
，
点
为右端点，舍去，
，
令
（
），
， 
， 
，
当直线
的斜率
不存在时， 
， 
，
，即
，解得
， 
，
，
所以
的最大值为
.
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