Question

（2013•昌平区一模）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则
①到坐标原点O的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是

8

；
②坐标原点O与直线2x-y-2

3

=0上任意一点的“折线距离”的最小值是

3

．

Answer 1

分析：①根据“折线距离”的定义，可得到坐标原点O的“折线距离”不超过2的点的集合对应的式子为|x|+|y|≤2，再作出如图所示的正方形，求出其面积即可得到答案；
②设Q（m，2m-2

3

）为直线2x-y-2

3

=0上任意一点，得到“折线距离”关于m的函数d（0，Q）=|m|+2|m-

3

|，再根据m的范围讨论函数的单调性，即可求出“折线距离”的最小值．

解答：解：①根据题意，到坐标原点O的“折线距离”不超过2的点P（x，y）满足等式
d（P，0）=|x-0|+|y-0|≤2，即|x|+|y|≤2，
对应的图形是以原点为中心，各个顶点在坐标轴上且对角线长为4
的正方形及其内部，如图所示
∴所求图形的面积为S=

1

2

×4²=8；
②设直线2x-y-2

3

=0上点Q坐标为（m，2m-2

3

）
∴坐标原点O与点Q的“折线距离”为
d（0，Q）=|m-0|+|2m-2

3

-0|=|m|+2|m-

3

|
当m≥

3

时，d（0，Q）=3m-2

3

，为关于m的增函数
此时d（0，Q）的最小值为3×

3

-2

3

=

3

；
当0＜m＜

3

时，d（0，Q）=2

3

-m，为关于m的减函数，此时d（0，Q）的最小值大于

3

；
当m≤0时，d（0，Q）=2

3

-3m为关于m的减函数，此时d（0，Q）的最小值为2

3

综上所述，坐标原点O与直线2x-y-2

3

=0上任意一点的“折线距离”的最小值是

3

故答案为：8，

3

点评：本题求“折线距离”的最小值，着重考查了直线的方程、两点间距离公式的应用、绝对值的定义和函数最值求法等知识，属于中档题．