Question

（2013•昌平区一模）设定义域为R的函数f（x）满足以下条件；则以下不等式一定成立的是（　　）
（1）对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；
（2）对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）．
①f（a）＞f（0）
②f（

1+a

2

）＞f（

a

）
③f（

1-3a

1+a

）＞f（-3）
④f（

1-3a

1+a

）＞f（-a）

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：根据已知中的条件（1）（2），结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得函数f（x）在区间[-a，-1]和[1，a]上为增函数，进而判断四个结论，可得答案．

解答：解：由（1）中对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可得函数f（x）为奇函数；
由（2）中对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁），可得函数f（x）在区间[1，a]上为增函数；
则f（a）＞f（1），但无法判断f（a）与f（0）的大小，故①错误；
∵1＜

a

＜

1+a

2

＜a，故f（

1+a

2

）＞f（

a

），即②正确；
由（1）（2）可得函数f（x）在区间[-a，-1]上也为增函数，但无法判断f（

1-3a

1+a

）与f（-3）的大小，故③错误；
∵-a＜

1-3a

1+a

＜-1，故f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），即④正确；
故不等式一定成立的是②④
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性和函数的单调性，其中分析出函数的单调性是解答的关键．