Question

已知向量=（cos（﹣θ），sin（﹣θ）），=．

（1）求证：．

（2）若存在不等于0的实数k和t，使=+（t²+3），=（﹣k+t），满足，试求此时的最小值．

Answer 1

考点：

数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数中的恒等变换应用．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）利用向量的数量积公式求出，利用三角函数的诱导公式化简得数量积为0，利用向量垂直的充要条件得证．

（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律化简方程，将方程中的k用t表示，代入，利用二次函数最值的求法求出最小值．

解答：

解：（1）证明∵=cos（﹣θ）•cos（﹣θ）+sin（﹣θ）•sin=sinθcosθ﹣sinθcosθ=0．

∴．

（2）解由得=0，

即[+（t²+3）]•（﹣k+t）=0，

∴﹣k+（t³+3t）+[t²﹣k（t+3）]=0，

∴﹣k+（t³+3t）=0．

又=1，=1，

∴﹣k+t³+3t=0，

∴k=t³+3t．

∴==t²+t+3=2+．

故当t=﹣时，有最小值．

点评：

本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算律、二次函数最值的求法．