Question

已知函数f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，a＞1。
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a＜5，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞）x₁≠x₂，有。

Answer 1

解：（1）的定义域为。

（i）若，即，则
故在单调增加。
（ii）若，而，故，则当时，
当及时，
故f（x）在单调减少，在单调增加。
（iii）若，即，同理可得f（x）在单调减少，在单调增加。
（2）考虑函数

则
由于1＜a＜5，故，即g（x）在（4，+∞）单调增加，
从而当时有，
即，故，
当时，有。