Question

设函数f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx   x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值为M，最小值为N，那么M+N=______．

Answer 1

函数f（x）=

2011 x+1+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×2011x+2010

2011 x+1

+sinx=

2011×(2011x+1)-1

2011 x+1

+sinx
=2011-

1

2011x+1

+sinx
∵y=2011^x在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数，∴y=

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为减函数
∴y=-

1

2011x+1

在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数，
而y=sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上也为增函数
∴f（x）=2011-

1

2011x+1

+sinx在x∈[-

π

2

，

π

2

]上为增函数
∴M=f（

π

2

），N=f（-

π

2

）
∴M+N=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=4022-

1

2011 π 2 +1

-

1

2011- π 2 +1

=4022-（

1

2011 π 2 +1

+

2011 π 2

2011 π 2 +1

）=4021
故答案为 4021