题目内容
17．已知M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$，则M=（ ）| A． | $\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$ | B． | $\frac{{2}^{2016}}{2016}$ | C． | $\frac{{2}^{2015}-1}{2015}$ | D． | $\frac{{2}^{2015}}{2015}$ |
分析 由二项式定理得到$（1+x）^{2015}={C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x$$+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$，两边求定积分得答案．
解答 解：由$（1+x）^{2015}={C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x$$+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$，
得：${∫}_{0}^{1}（1+x）^{2015}dx$=${∫}_{0}^{1}[{C}_{2015}^{0}+{C}_{2015}^{1}x+…+{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}]dx$，
∴$\frac{（1+x）^{2016}}{2016}{|}_{0}^{1}=（{C}_{2015}^{0}x+\frac{1}{2}{C}_{2015}^{1}{x}^{2}+…+\frac{1}{2016}{C}_{2015}^{2015}{x}^{2016}）{|}_{0}^{1}$，
即$\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$，
∴M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$+$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$+$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$=$\frac{{2}^{2016}-1}{2016}$，
故选：A．
点评 本题考查了数列的求和，考查了数学转化思想方法，关键是二项式定理和定积分的应用，是中档题．
如图，椭圆C1：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与抛物线C2：x2=4y有公共的焦点F．点A为椭圆C1与抛物线C2准线的交点之一，过A向抛物线C2引切线AB，切点为B，且点A，B都在y轴的右侧．| A． | （0，$\frac{1}{16}$） | B． | （0，$\frac{1}{16}$] | C． | （0，$\frac{1}{4}$） | D． | [0，$\frac{1}{4}$） |
如图所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与 CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，四棱锥B-ACED的体积为$\frac{1}{2}$，F为BC的中点．求：