题目内容

已知动圆Q经过点A,且与直线相切，动圆圆心Q的轨迹为曲线C，过定点作与y轴平行的直线且和曲线C相交于点M1,然后过点M1作C的切线和x轴交于点,再过作与y轴平行的直线且和C相交于点M2,又过点M2作C的切线和x轴交于点,如此继续下去直至无穷，记△的面积为

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）试求的值。

（Ⅰ）曲线C的方程为 

（Ⅱ）


解析:

（Ⅰ）由题意知，动圆圆心Q到点A和到定直线的距离相等，

∴动圆圆心Q的轨迹是以点A为焦点，以直线为准线的抛物线

∴曲线C的方程为。 -------------------------------------------------4分

（Ⅱ）如图，设点，则的坐标为，

，∴曲线C在点处的切线方程为： -----------7分

令y＝0，得此切线与x轴交点的横坐标，即， ， ---------10分

∴

∴数列是首项公比为的等比数列， -----12分

 -------------14分

练习册系列答案
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（2010•石家庄二模）已知动圆M经过点G（0，-1），且与圆Q：x2+（y-1）2=8内切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心的轨迹E的方程．
（Ⅱ）以m=(1，
2
)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点A、B，在曲线E上是否存在点P使四边形OAPB为平行四边形（O为坐标原点）．若存在，求出所有的P点的坐标与直线l的方程；若不存在，请说明理由．
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7
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