Question

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列是公差为d的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式（用n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求证：c的最大值为．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a₁、d的方程，求出a₁，进而推出s_n，再利用a_n与s_n的关系求出a_n．
（2）利用（1）的结论，对S_m+S_n＞cS_k进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c的最大值的范围，利用夹逼法求出a的值．
解答：解：（1）由题意知：d＞0，=+（n-1）d=+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴，
化简，得：，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，适合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²
（2）（方法一）S_m+S_n＞cS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞c•k²，恒成立．
又m+n=3k且m≠n，，
故，即c的最大值为．
（方法二）由及，得d＞0，S_n=n²d²．
于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有．
所以c的最大值．
另一方面，任取实数．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，且．
于是，只要9k²+4＜2ak²，即当时，．
所以满足条件的，从而．
因此c的最大值为．
点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．