Question

函数y=sinx+cosx在[0，π]上的极大值为

2

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由导函数等于0求出定义域内的x的值，分析导函数在各段内的符号，从而得到原函数在各段内的单调性，由单调性判出极值点，最后把极值点的横坐标代入原函数求极值．

解答：解：由y=sinx+cosx，得：y^′=（sinx+cosx）^′=cosx-sinx，
再由cosx-sinx=0，得sinx=cosx，即tanx=1，因为x∈[0，π]，所以x=

π

4

．
所以，当x∈（0，

π

4

）时，y^′=cosx-sinx＞0，函数y=sinx+cosx为增函数，
当x∈（

π

4

，π）时时，y^′=cosx-sinx＜0，函数y=sinx+cosx为，减函数，
所以，函数y=sinx+cosx在[0，π]上的极大值为f(

π

4

)=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

2

+

2

2

=

2

．
故答案为

2

．

点评：本题考查了利用导函数研究原函数的单调性，根据单调性判断函数的极值点，对于连续函数来说，函数在某一点处先增后减为极大值点，先减后增为极小值点，解答此类问题的关键是判断导函数在各分段区间内的符号，此题是中档题．