Question

已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），+a_n+1²=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求证：当x∈（0，）时，sinx＜x
（2）求a_n，并证明：若θ=，则a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整数m，使得b_n≥msinθ对任意正整数n恒成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），则，由此能够证明sinx＜x．
（2）由，得，由a₁=2sinθ，得==2sin，==2sin，猜想：．然后用数学归纳法证明．
（3）由，知===，由此能求出存在最大自然数m=8满足条件．
解答：解：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜），则，
故f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x．…（3分）
（2）由，得，
又a₁=2sinθ，
∴
=
=2sin，

=
=2sin，
猜想：．…（5分）
下面用数学归纳法证明：
①n=1时，a₁=2sinθ，成立，
②假设n=k时命题成立，即，则n=k+1时，

=
=
=2sin，
即n=k+1时命题成立．由①②知对n∈N*成立．…（8分）
由（1）知，n∈N*
故
=
=4θ．
因此时，a₁+a₂+…+a_n＜π．…（11分）
（3），
故
=
=
=，
{b_n}为递增数列，因此要使b_n≥msinθ对任意正整数n恒成立，
只需b₁≥msinθ成立，而b₁≥8sinθ，因此m≤8，
故存在最大自然数m=8满足条件．  …（14分）
点评：本题考查数列与三角函数的综合应用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数知识和数学归纳法的灵活运用．