Question

已知F₁、F₂是双曲线的左、右焦点，点P(x，y)是双曲线右支上的一个动点，且|PF₁|的最小值为8，与的数量积的最小值是－16．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点C(9，16)能否作直线l与双曲线交于A、B两点，使C为线段AB的中点．若能，求出直线l的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵，当且仅当时，等号取得，∴的最小值为，∴　①　　　　　　2分 　　∴， 　　由知， 　　∴ 　　 　　∴当且仅当时，等号取得， 　　∴的最小值为， 　　∴，即　　　②　　5分 　　又∵　　③ 　　∴由①②③得 　　∴所求双曲线的方程为　　7分 　　(2)假设存在这样的直线满足题条件，设则有　　　　④ 　　　　⑤ 　　④⑤得 　　　　　　12分 　　∴直线的方程为 　　将直线：与双曲线组成方程组消去得 　　，其根的判别式 　　∴这样的直线存在，方程为　　　　14分