Question

已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x﹣y=3，求实数a的值；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；
（3）若a＜0，对任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁≠x₂，恒有，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=1﹣ ，
∴f'（1）=1﹣a
∴曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1﹣a
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x﹣y﹣3=0，
∴1﹣a=3，解得a=﹣2．
（2）f'（x）=1﹣ = ，其中x＞0
（i）当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
而f（1）=0，所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，与f（x）≥0恒成立相矛盾
∴a≤0不满足题意．
（ii）当a＞0时，
∵x＞a时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（a，+∞）上是增函数；
0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；
∴f（x）≥f（a）=a﹣a﹣alna
∵f（1）=0，所以当a≠1时，f（a）＜f（1）=0，此时与f（x）≥0恒成立相矛盾 ∴a=1
综上所述，若f（x）的值域为[0，+∞），则a=1；
（3）由（2）可知，当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数，
又函数y= 在（0，1]上是减函数
不妨设0＜x₁≤x₂≤1 则|f（x₁）﹣f（x₂）|=f（x₂）﹣f（x₁），
∴|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4| ﹣ |即f（x₂）+4× ≤f（x₁）+4× 
设h（x）=f（x）+ =x﹣1﹣alnx+ ，
则|f（x₁）﹣f（x₂）|≤4| ﹣ |等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数
因为h'（x）=1﹣ ﹣ = ，
所以x²﹣ax﹣4≤0在（0，1]上恒成立，
即a≥x﹣ 在（0，1]上恒成立，
即a不小于y=x﹣ 在（0，1]内的最大值．
而函数y=x﹣ 在（0，1]是增函数，
所以y=x﹣ 的最大值为﹣3
所以a≥﹣3，又a＜0，所以a∈[﹣3，0）．