Question

如图1，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求证：BE∥平面ADF，先在平面ADF中取DF中点为G，作出线段AG，证明BE∥AG即可．
（Ⅱ）求三棱锥F-BCE的体积，转化为V_B-CEF即可；也可以直接解答，求底面面积和高；还可以求V_E-CBF求底面面积和高，再求体积．

解答：证明：（Ⅰ）证法一：取DF中点为G，连接AG，EG中，
CE=

1

2

DF，
∴EG∥CD
且EG=CD（2分）
又∵AB∥CD且AB=CD，
∴EG∥AB且EG=AB，四边形ABEG为平行四边形，
∴BE∥AG（4分）
∵BE?平面ADF，AG?平面ADF，
∴BE∥平面ADF，（6分）
证法二：由图1可知BC∥AD，CE∥DF，折叠之后平行关系不变．
∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF，同理CE∥平面ADF（4分）
∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF．
∵BE?平面BCE，
∴BE∥平面ADF（6分）

（Ⅱ）解法1：∵V_F-BCE=V_B-CEF，由图1可知BC⊥CD（8分）
∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，（10分）
由图1可知DC=CE=1S△CEF=

1

2

CE×DC=

1

2

∴VF-BCE=VB-CEF=

1

3

×BC×S△CEF=

1

6

（12分）
解法2：由图可知CD⊥BC，CD⊥CE
∵BC∩CE=C，∴CD⊥平面BCE，
∵DF∥DC，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，（8分）
由图1可知BC=CE=1S△BCE=

1

2

BC×CE=

1

2

∴VF-BCE=

1

3

×CD×S△BCE=

1

6

（12分）
解法3：过E作EH⊥FC，垂足为H
由图1可知BC⊥CD
∵平面DCEF⊥平面ABCD，
平面DCEF∩平面ABCD=CDBC?平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，
∵EH?平面DCEF∴BC⊥EH，EH⊥平面BCF
由BC⊥FC，FC=

DC2+DF2

=

5

，S△BCF=

1

2

BC×DF=

5

2

，（10分）
在△CEF中，由等面积法可得EH=

1

5

，
∴VF-BCE=VE-BCF=

1

3

×EH×S△BCF=

1

6

（12分）

点评：本题考查棱柱、棱锥的体积，考查转化思想，是中档题．