Question

如图，在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是

16000cm³

．

Answer 1

分析：设箱底边长为xcm，结合题意可得容积V（x）=

1

2

（60x²-x³）（0＜x＜60）．再用导数工具研究V（x）在区间（0，60）上的单调性，可知当x=40时V（x）达到最大值．由此得到本题答案．

解答：解：设箱底边长为xcm，则箱高h=

60-x

2

，
∴箱子容积V（x）=x²h=

1

2

（60x²-x³）（0＜x＜60）．
求导数，得V′（x）=60x-

3

2

x²，
令V′（x）=60x-

3

2

x²=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=40，
∵x∈（0，40）时，V′（x）＞0；x∈（40，60）时，V′（x）＜0
∴V（x）在区间（0，40）上为增函数，区间（40，60）上为减函数
由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000．
故答案为：16000cm³．

点评：本题以一个实际问题为例，求铁箱的容积最大值．着重考查了函数模型及其应用和利用导数研究函数的单调性、求最值等知识，属于中档题．