Question

如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）移动，设点P移动的路程为x，△APB的面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出y=f（x）的图象；
（3）若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出定义域，然后根据点P的位置进行分类讨论，根据三角形的面积公式求出每一段△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式，最后用分段函数进行表示即可；
（2）根据每一段的函数解析式画出每一段的函数图象，即可得到y=f（x）的图象；
（3）利用△APB的面积不小于2，结合函数解析式，建立不等式，即可求x的取值范围．

解答：解：（1）由于x=0与x=12时，三点A、B、P不能构成三角形，故这个函数的定义域为（0，12）．
当0＜x≤4时，S=f（x）=

1

2

•4•x=2x；
当4＜x≤8时，S=f（x）=8；
当8＜x＜12时，S=f（x）=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴这个函数的解析式为f（x）=

2x ，x∈(0，4]  8 ，x∈(4，8]  24-2x ，x∈(8，12)

（2）其图形为右上图；
（3）当0＜x≤4时，2x≥2，∴1≤x≤4；当4＜x≤8时，S=8，满足题意；
当8＜x＜12时，S=24-2x≥2，∴8＜x≤11
综上，1≤x≤11．

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及分段函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．