Question

（2012•广东）对任意两个非零的平面向量

α

和

β

，定义

α

○

β

=

α • β

β • β

，若平面向量

a

、

b

满足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

与

b

的夹角θ∈(0，

π

4

)，且

a

○

b

和

b

○

a

都在集合{

n

2

|n∈Z}中，则

a

○

b

=（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：由题意可得

a

•

b

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

，同理可得

b

•

a

=

| b | •cosθ

| a |

=

m

2

，故有 n≥m 且 m、n∈z．再由 cos²θ=

mn

4

，

a

与

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），可得
cos²θ∈（

1

2

，1），即

mn

4

∈（

1

2

，1），由此求得  n=3，m=1，从而得到

a

•

b

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

的值．

解答：解：由题意可得

a

•

b

=

a • b

b • b

=

| a | • | b |•cosθ

| b |2

=

| a | •cosθ

| b |

=

n

2

．
同理可得

b

•

a

=

a • b

a • a

=

| a | • | b |•cosθ

| a |2

=

| b | •cosθ

| a |

=

m

2

．
由于|

a

|≥|

b

|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z．
∴cos²θ=

mn

4

．再由

a

与

b

的夹角θ∈（0，

π

4

），可得 cos²θ∈（

1

2

，1），即

mn

4

∈（

1

2

，1）．
故有 n=3，m=1，∴

a

•

b

=

n

2

=

3

2

，
故选C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到 n≥m 且 m、n∈z，且

mn

4

∈（

1

2

，1），是解题的关键，属于中档题．