Question

（本题满分10分） 将一个长、宽分别的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，

（Ⅰ）设切去小正方形的边长为，用表示这个长方体的外接球的半径；

（Ⅱ）若这个长方体的外接球的体积存在最小值，求的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）切去正方形后所形成的无盖长方体的长、宽、高分别为，根据长方体对象线公式求出对角线的长，再通过外接球的直径为长方体的对角线求出R；（Ⅱ）要是长方体的外接球的体积存在最小值，只要R存在最小值，将其转化为求二次方程的最小值问题，利用对称轴，构造关于的不等式进行求解。

试题解析：（Ⅰ）设切去的正方形的边长为，长方体对角线长的平方，

又外接球中，，所以 （）

（Ⅱ）由对称轴：， 当长方体的外接球的体积存在最小值时，

，

考点：1、长方体体积公式；2、二次函数求最值问题；3、综合分析和解决问题的能力。