Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，顶点为，，，，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点.设的斜率为，的斜率为，试问是否为定值？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 椭圆的方程为：;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率，，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由A1(－2，0)、A2(2，0)、B1(0，－1)、B2(0，1)，得直线A2P的方程为，由，得，由此利用韦达定理、直线方程、直线的斜率公式，结合已知条件能求出2m-k为定值．

试题解析：

(Ⅰ)解：∵，∴，即 　　①

由已知，A1(－a，0)、A2(a，0)、B1(0，－b)、B2(0，b)

∴

由得 　　②

由①②得：a = 2，b = 1，∴椭圆C的方程为．

(Ⅱ)证：由(Ⅰ)知，A1(－2，0)、A2(2，0)、B1(0，－1)、B2(0，1)

∴直线A2P的方程为

由 得：

设P(x1，y1)，则，∴

直线B2P的方程为，即

令y = 0，得，即

直线A1B2的方程为

由 得：

∴直线EQ的斜率，∴，是定值．