Question

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值；
（2）已知关于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，求实数b的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组

7 x+1 ＞1  log2x+log2(tx+3t)＜2

的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）a=0时不合题意；
a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，
则x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，
由题意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．
（2）因为sinxcosx+

3

cos2x+b
=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
设f(x)=sin(2x+

π

3

)，原不等式等价于“f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因为函数f（x）的最小正周期为π，[0，π]的长度恰为函数的一个正周期，
所以当-

3

2

-b＜

1

2

时，f(x)＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过

π

3

，
即b的取值范围为(-

1+ 3

2

，+∞)．
（3）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，
即（x+1）（x-6）＜0
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6）
设不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等价于

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

所以B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，
所以不等式组

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，当x∈（0，6）时，恒成立
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0
当x∈（0，6）时，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立
当x∈（0，6）时，

4

x2+3x

的取值范围为(

2

27

，+∞)，所以实数t≤

2

27

综上所述，t的取值范围为(0，

2

27

]