Question

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为

6

，求实数a的值；
（2）已知A={x|

7

x+1

＞1}，B={x|

x＞0 tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

，若A∩B构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，不符合题意．当a≠0时，由题意关于x的方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，满足|x1-x2| =

6

，利用根与系数关系进行配方，列出关于a的方程，再结合根的判别式解之，即可得到实数a的值；
（2）先解分式不等式，得不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），再结合集合B的不等式组，得当x∈（0，6）时不等式组

tx+3t＞0 tx2+3tx-4＜0

恒成立．最后讨论一元一次不等式tx+3t＞0和一元二次不等式tx²+3tx-4＜0在（0，6）都恒成立，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（1）当a=0时，不等式为-12x-3＞0，显然不符合合题意；--------（1分）
当a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，
则△=144+24a＞0且a＜0，得-6＜a＜0
∵x1+x2=

6

a

，x1x2=-

3

2a

，（3分）
∴6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=

36

a2

+

6

a

，得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．（6分）
（2）先解不等式

7

x+1

＞1，整理得

-x+6

x+1

＞0，即（x+1）（x-6）＜0，
所以不等式

7

x+1

＞1的解集A=（-1，6），--------------------------------------------（8分）
又∵B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），-------------（10分），
∴不等式组的解集各区间长度和为6，所以当x∈（0，6）时恒成立．
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0；-----------------（12分）
当x∈（0，6）时，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+3x

恒成立，
而x∈（0，6）时，

4

x2+3x

的取值范围为(

2

27

，+∞)，所以实数t≤

2

27

；--------（15分）
综上所述，t的取值范围为(0，

2

27

]-------------（16分）

点评：本题给出区间长度的定义，要求我们根据这个定义讨论不等式组的解集．着重考查了一元二次不等式的解法和含有参数的不等式恒成立的讨论等知识，属于中档题．