Question

7．已知四面体ABCD中，AB=CD=$\sqrt{5}$，BC=AD=$\sqrt{10}$，AC=BD=$\sqrt{13}$，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

• A． 42π
• B． 43π
• C． 14π
• D． 16π

Answer 1

分析 由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，长方体的对角线长为$\sqrt{\frac{5+10+13}{2}}$=$\sqrt{14}$，可得球的半径为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，即可求出此球的表面积．

解答 解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，
∴长方体的对角线长为$\sqrt{\frac{5+10+13}{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴球的半径为$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴此球的表面积为4$π•\frac{14}{4}$=14π．
故选：C．

点评 本题考查求球的表面积，四面体扩充为长方体，求出球的半径是关键．