题目内容

已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点（n，bn）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量=（1，2）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=2，在ak与ak+1之间插入k个ck，依次构成新数列，试求该数列的前2013项之和；
（3）对任意正整数n，不等式（1+）（1+）•…•（1+）-a≥0恒成立，求正数a的范围．
【答案】分析：（1）由an+1-an=1且a1=6，知an=n+5，再由已知得到∥，从而y=2x+1，又l过点（n，bn），推导出bn=2n+1，从而可求得．
（2）新数列：a1，c1，a2，c2，c2，a3，c3，c3，c3，a4，…，ak，ck，…，ak+1，共计有项数：k+1+•k．经估算k=62，k+1+•k=2016，项数接近2013，由此能求出该数列的前2013项之和．
（3）变量分离得：a≤恒成立，由此能求出正数a的范围．
解答：解：（1）∵an+1-an=1且a1=6，∴an=n+5，…（1分）
设l上任意一点P（x，y），则=（x，y-1），
由已知可得∥．
∴y=2x+1，又l过点（n，bn），
∴bn=2n+1．…（4分）
（2）新数列：a1，c1，a2，c2，c2，a3，c3，c3，c3，a4，…，ak，ck，…，ak+1，
共计项数：k+1+•k
经估算k=62，k+1+•k=2016，项数接近2013，…（5分）
∴S2013=（a1+a2+…+a62）+（1×c1+2×c2+…+62×c62）-2c62       …（6分）
令T=1×c1+2×c2+…+62×c62，
T=1×23+2×25+3×27+…+62×2125
4T=1×25+2×27+…+61×2125+62×2127
两式相减得：T=     …（8分）
∴S2013=+-2×2125=2263+．…（9分）
（3）变量分离得：a≤恒成立．…（10分）
令g（n）=     …（11分）
∴=×
=≥1…（13分）
∵{g（n）}递增数列．
∴a∈（0，g（1））=（0，]．…（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查正数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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